平面的法向量是什么意思（还用老方法解数学立体几何证明？）

今天要学习的知识点，在高中以及大学都会继续学习，想必大家应该也不会很陌生，那就是立体几何的证明问题。

对于立体几何，很多朋友都是采用很常规的方法去解决，没有注意到，证明题也是可以寻找新方法的。

下面我们一起来看一下，有关立体几何的证明问题。

立体几何的证明，讲的是在空间中的立体图形，简而言之就是三维图形（体）

注意：三维叫体，二维叫面，这个概念大家不要忘记了。

认识了立体几何的概念，我们开始学习今天的内容，那就是用向量法解空间立体几何的证明问题。

第一、我们首先来看一下方向向量的概念

设l为过点A且平行于非零向量a的直线，那么非零向量a叫做直线l的方向向量。简而言之就是，直线上的非零向量叫做直线的方向向量

简单理解，就是和某条已知直线平行或者共线的向量，称为方向向量。

通过学习，我们来看个例题：

若A(－2,0,2)，B(2,4,8) 在直线l上，则直线l的其中一个方向向量为多少？（求出一个即可）

解：根据题意，我们可以根据这两个点在直线上，直接将向量AB求出来，所得向量AB就是直线l的方向向量。

所以：向量AB＝（2,4,8）－（－2,0,2）＝（4,4,6）＝2(2,2,3) 。

向量BA＝（－2,0,2）－（2,4,8）＝(－4,－4,－6)＝－2（2,2,3）。

则直线的其中一个方向向量是（2,2,3）。

注意：以上题目，我们只是借助直线l上的点，求出了部分方向向量，但是直线上的点是无数的，所以说，只要是除了零向量，其他的任意向量，只要满足和直线平行或者共线，都可以看作方向向量。

第二、法向量的概念。

设直线为l，平面为α ，此时有l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。如下图所示：

通俗理解，就是说与某已知平面垂直的非零向量称为平面的法向量。

其次就是平面α的向量式方程需要掌握：如上图所示，向量a是法向量，向量PA在平面α内，那么有a.PA＝0成立。

简单理解，就是说直线l⊥平面α，取直线l的方向向量为a，那么向量a叫做平面α的法向量。

通过学习，我们来看个例题。

如图所示，正方形的棱长均为1，请问直线OC的一个方向向量坐标是多少？平面OABC的一个法向量坐标是多少

解：根据题意，我们可以根据方向向量的定义，得到直线OC的一个方向向量为（0,1,0）。然后再结合法向量定义，只需要找出一个和平面OABC垂直的向量即可，例如：直线AA'和平面OABC垂直，所以直线AA'的法向量可取（0,0,1）。

解释：若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量。

接下来，我们来看一下有关立体几何中的平行关系，平行分为线线平行，线面平行，面面平行。

一、其中线线平行指的是两条直线互相平行，当两条直线平行时，两条直线的方向向量就会平行。

二、线面平行主要是指平面外的一条直线，和该平面平行，当平面外的这条直线平行该平面时，那么平面的法向量就会和该直线垂直成90°，并且直线的方向向量和平面的法向量的乘积等于零。

三、面面平行指的是两个平面互相平行，当两个平面互相平行时，这两个平面的法向量就会相互平行或共线，并且两个平面的法向量都和另一个平面垂直。

认识完平行后，我们再来看一下垂直的关系，垂直主要分为线线垂直，线面垂直，面面垂直。

一、线线垂直是指两条线互相垂直，当两条线互相垂直时，这两条线的方向向量就会垂直，此时方向向量相乘等于零。

二、线面垂直指的是平面外一条线和该平面垂直，此时直线的方向向量就会和平面的法向量互相平行，并且方向向量和法向量成倍数关系。

三、面面垂直是指两个平面互相垂直，当两平面互相垂直时，那么这两平面的法向量就会互相垂直，此时两平面的法向量相乘等于零。

通过学习，我们来看一个例题，以便大家更好的理解解题思路。

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点。

求证：PA//平面EDB

解：我们先建立空间直角坐标系，将AM的方向向量以及平面BDE的法向量找出来，然后再根据方向向量和法向量垂直建立等式，从而求解。

根据空间直角坐标系，我们可以吧对应的坐标点表示出来，然后再根据等式证明方向向量与法向量相乘等于零，即可得证。

课后练习题：

如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=√Z，AF=1,M是线段EF的中点。

求证：AM//平面BDE